Предисловие 5 1. Грани множеств и предел последовательности 9 § 1. Элементы теории множеств и отображений 9 § 2. Отношение порядка. Понятие частично упорядоченного пространства 22 § 3. Верхняя и нижняя грани множества в частично упорядоченном пространстве 23 § 4. Топология упорядоченного пространства 26 § 5. Топологическое свойство граней множества. Полные пространства 28 § 6. Последовательность, ее предел и порядковые свойства предела 30 § 7. Связь между гранями множеств и пределом последовательности. Теорема Вейерштрасса 32 § 8. Последовательность. Частичный предел последовательности. Верхний и нижний пределы 35 § 9. Существование монотонной подпоследовательности. Теоремы Больцано-Вейерштрасса и Кантора 37 2. Действительные и комплексные числа 39 § 1. Аксиоматическая теория действительного числа 39 § 2. Числовая последовательность и ее предел 50 § 3. Теория действительного числа по Вейерштрассу 58 § 4. Комплексные числа 68 3. Сумма и произведение числового семейства. Числовой ряд и бесконечное произведение 73 § 1. Сумма семейства чисел и ее свойства 73 § 2. Вычисление сумм с помощью предела 88 § 3. Признаки суммируемости последовательности комплексных чисел 89 § 4. Произведение семейства комплексних чисел 93 § 5. Числовые ряды 96 § 6. Теорема Римана о перестановке членов ряда. Бесконечные произведения 103 4. Последовательности функций и функциональные ряды. Степенные ряды и элементарные функции 109 § 1. Последовательность функций и функциональный ряд. Поточечная сходимость 109 § 2. Равномерная норма функции. Равномерная сходимость последовательности функций и функционального ряда 110 § 3. Степенные ряди 117 § 4. Элементарные функции 122 5. Предел и непрерывность функции 127 § 1. Предел и непрерывность функции по Гейне 127 § 2. Полунепрерывные функции. Предел и непрерывность функции в смысле Коши 135 § 3. Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора 137 § 4. Обратные элементарные функции. Приемы решения задач 138 § 5. Равностепенная непрерывность 143 6. Производная и интеграл 151 § 1. Производная 151 § 2. Физический и геометрический смысл производной. Теоремы Ролля, Дарбу, Лагранжа 159 § 3. Интеграл Ньютона-Лейбница 165 § 4. Дифференцирование и интегрирование предела последовательности функций и суммы функционального ряда 173 § 5. Существование первообразной. Интегралы Коши и Римана 178 § 6. Вычисление интегралов и первообразных 183 7. Приложения производной и интеграла. Функции векторного аргумента 198 § I. Приложения производной и интеграла к исследованию функци 199 § 2. Производные и интегралы Ньютона—Лейбница любых порядков 208 § 3. Производная Ферма—Лагранжа. Формула Тейлора—Пеано. Достаточные условия экстремума 215 § 4. Ряд Тейлора 220 § 5. Выпуклые функции 224 § 6. Элементарная теория интеграла, зависящего от параметра. Частные производные функции. R2-дифференцируемость 234 § 7. Формула Тейлора. Экстремум функции векторного аргумента 249 § 8. Элементарная теорема о неявной функции. Условный экстремум 261 § 9. Криволинейные интегралы. Формулы Коши для функции и ее производных. Ряд Лорана и теория вычетов 265 § 10. Потенциальное векторное поле 283 § 11. Функции ограниченной вариации 285 § 12. Интеграл Стилтьеса 294 8. Интеграл Лебега 319 § 1. Интеграл как площадь фигуры. Теорема Дини о равномерной сходимости. Класс функций L0 320 § 2. Нуль-множества 327 § 3. Суммируемые функции. Класс L и интеграл Лебега. Теоремы Леви, Фату, Лебега 330 § 4. Измеримые функции. Теорема Фреше 335 § 5. Измеримые множества, их мера. Борелевские множества 341 § 6. Интегрирование по множеству 345 § 7. Сравнение различных теорий интегрирования 349 § 8. Ячейки на прямой и представление суммируемой функции посредством характеристических функций ячеек 355 § 9. Теоремы Егорова и Лузина 356 § 10. Интеграл Лебега функции многих переменных. Теоремы Фубини и Тонелли 358 § 11. Плотность отображения. Замена переменных в интеграле 364 § 12. Интегралы Эйлера. Свойства интегралов Лебега, зависящих от параметра 374 § 13. Вторая теорема о среднем для интеграла Лебега. Абсолютно непрерывные функции 377 9. Ряд и интеграл Фурье 383 § 1. Тригонометрический ряд и ряд Фурье 384 § 2. Преобразование Фурье. Теорема Римана-Лебега 387 § 3. Интеграл Дирихле. Принцип локализации Римана. Признаки сходимости ряда Фурье 389

В пособии изложен математический анализ с основами теории функций комплексной и действительной переменных, а также некоторые разделы функционального анализа. Дифференциальное исчисление построено на идеях Ферма — Лагранжа. В интегральном исчислении введен в рассмотрение интеграл Ньютона — Лейбница и показаны его приложения. Проведено сравнение интегралов Ньютона — Лейбница, Коши, Римана, Дарбу и Лебега. По-новому излагаются теории интеграла Лебега, рядов Фурье обобщенных функций, дифференциальных форм и другие вопросы. Теоретический материал иллюстрируется многими примерами. Даны упражнения для самостоятельного решения. Для студентов математических специальностей университетов.