ПЕРЕДМОВА 10 ПРОГРАМА НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ «ВИЩА МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЕКОНОМІСТІВ І МЕНЕДЖЕРІВ» 11 КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ ІЗ ЗАВДАННЯМИ ДЛЯ ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ І САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ СТУДЕНТІВ 18 Лекція 1. Предмет та задачі дисципліни 21 1.1. Значення математичної освіти як важливої складової у системі фундаментальної підготовки сучасних економістів і менеджерів 21 1.2. Приклади економіко-математичних моделей та задач 22 1.3. Поняття множини, дії над множинами 23 1.4. Податки алгебри. Поняття про числа 27 1.5. Визначальні властивості (аксіоми) множини дійсних чисел 28 1.6. Основні характеристики дійсного числа 31 1.7. Важливі підмножини множини дійсних чисел 32 1.8. Обмежені числові множини, їх межі та екстремальні елементи 33 1.9. Завдання для практичних занять і самостійної роботи студентів 34 РОЗДІЛ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА 39 Лекція 2. Система лінійних рівнянь 41 2.1. Поняття про систему лінійних рівнянь та її розв’язок 41 2.2. Економічний приклад 43 2.3. Еквівалентні перетворення системи лінійних рівнянь 43 2.4. Метод Гаусса послідовного вилучення невідомих 44 2.5. Метод Гаусса - Жордана 48 2.6. Завдання для практичних занять і самостійної роботи студентів 51 Лекція 3. Визначники 53 3.1. Означення визначника 53 3.2. Властивості визначників 55 3.3. Визначник Вандермонда 57 3.4. Формули Крамера розв’язку системи п лінійних рівнянь 3 n невідомими 58 3.5. Завдання для практичних занять і самостійної роботи студентів 61 Лекція 4. Матриці 63 4.1. Означення, основні види матриць 63 4.2. Дії над матрицями 66 4.3. Визначники особливих матриць 70 4.4. Матричні мінори та ранг матриці 72 4.5. Теорема Кронекера - Капеллі 74 4.6. Система однорідних лінійних рівнянь 75 4.7. Обернена матриця 76 4.8. Розв'язування систем лінійних рівнянь і матричних рівнянь за допомогою оберненої матриці 79 4.9. Завдання для практичних занять і самостійної роботи студентів 80 Лекція 5. Жорданові виключення 83 5.1. Поняття жорданових виключень та їх реалізація за допомогою жорданових таблиць 83 5.2. Обчислення оберненої матриці за допомогою жорданових виключень 90 5.3. Розв'язування системи лінійних рівнянь за допомогою жорданових виключень 93 5.4. Економічне планування за статичною моделлю міжгалузевого балансу Леонтьєва 96 5.5. Завдання для практичних занять і самостійної роботи студентів 99 Лекція 6. Лінійний векторний простір 101 6.1. Означення та властивості лінійного простору 101 6.2. Лінійна залежність та лінійна незалежність елементів лінійного простору 103 6.3. Розмірність та базис лінійного простору 103 6.4. Поняття підпростору лінійного простору, його розмірність 109 6.5. Евклідів простір та евклідова метрика 112 6.6. Лінійний векторний простір 114 6.7. Теорема про ранг скінченної системи векторів 117 6.8. Завдання для практичних занять і самостійної роботи студентів 119 РОЗДІЛ 2. ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ ТА АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ 121 Лекція 7. Вектори в аналітичній геометрії, дії над ними 123 7.1 Вектори: геометричне означення, дії над ними в геометричній формі 123 7.2. Числова вісь, координатна площина та координатний простір. Координати точки та вектора на числовій осі, на координатній площині та у координатному просторі 127 7.3. Дії над геометричними векторами в координатах (в алгебраїчній формі) 132 7.4. Визначення координат точки поділу відрізка у заданій пропорції 136 7.5. Завдання для практичних занять і самостійної роботи студентів 137 Лекція 8. Пряма на площині 139 8.1. Пряма як лінія першого порядку. Загальне рівняння прямої. Повне та неповні загальні рівняння прямої лінії 139 8.2. Зведення загального рівняння прямої до основних особливих рівнянь 142 8.3. Нормальне рівняння прямої. Відстань від точки до прямої 147 8.4. Кут між двома прямими. Умови перпендикулярності і паралельності двох прямих 149 8.5. Завдання для практичних занять і самостійної роботи студентів 151 Лекція 9. Площина у просторі 154 9.1. Площина як геометрична фігура першого порядку. Загальне рівняння площини у просторі. Повне та неповні загальні рівняння площини 154 9.2. Рівняння площини у відрізках на осях 156 9.3. Відстань від точки до площини. Нормальне рівняння площини 157 9.4. Рівняння площини за її однією точкою та нормаллю 158 9.5. Рівняння площини за відомими трьома її точками 159 9.6. Кут між двома площинами. Умови перпендикулярності і паралельності двох площин 160 9.7. Завдання для практичних занять і самостійної роботи студентів 162 Лекція 10. Пряма у просторі 163 10.1. Пряма як лінія перетину двох площин, загальні рівняння прямої 163 10.2. Параметричні та канонічні рівняння прямої 165 10.3. Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки 166 10.4. Кут між двома прямими. Умови перпендикулярності і паралельності двох прямих 167 10.5. Кут між прямою та площиною. Умови перпендикулярності та паралельності прямої і площини 168 10.6. Завдання для практичних занять і самостійної роботи студентів 170 Лекція 11. Лінії другого порядку 171 11.1. Означення, види ліній другого порядку 171 11.2. Коло 172 11.3. Еліпс 172 11.4. Гіпербола 176 11.5. Парабола 178 11.6. Завдання для практичних занять і самостійної роботи студентів 181 РОЗДІЛ 3. ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ 183 Лекція 12. Функція (в 3-х частинах) 185 Частина 1. 12.1. Означення числової функції однієї дійсної змінної, способи її задавання 185 12.2. Властивості функцій: обмеженість і необмеженість, зростання й спадання, парність і непарність, періодичність 186 12.3. Поняття оберненої функції та складеної функції 187 12.4. Класифікація функцій. Приклади та властивості основних елементарних та окремих неелементарних функції 188 Частина 2. 12.5. Числова послідовність; границя числової послідовності 194 12.6. Число е 198 12.7. Нескінченно малі та нескінченно великі послідовності 199 12.8. Означення границі функції, односторонніх границь. Визначні границі. Властивості функцій, які мають границі 201 12.9. Нескінченно малі та нескінченно великі функції 203 Частина З. 12.10. Означення неперервності функції 205 12.11. Приклади неперервних функцій 206 12.12. Класифікація розривів 207 12.13. Властивості неперервних функцій 208 12.14. Завдання для практичних занять і самостійної роботи студентів 212 РОЗДІЛ 4. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ 215 Лекція 13. Похідна 217 13.1. Означення похідної функції в точці, її геометричний, аналітичний та механічний зміст. Односторонні похідні 217 13.2. Похідна функції як нова функція. Похідні елементарних функцій. Правила обчислення похідних 220 13.3. Похідна та маргінальні показники економічної діяльності 225 13.4. Еластичність як приклад застосування похідної в економічних розрахунках 226 13.5. Похідні вищих порядків 227 13.6. Завдання дія практичних занять і самостійної роботи студентів 229 Лекція 14. Диференціал функції одніс! змінної 232 14.1. Визначення диференціала, правила його обчислення 232 14.2. Застосування диференціала до наближених обчислень 235 14.3. Інваріантність форми першого диференціала 236 14.4. Диференціали вищих порядків 237 14.5. Основні теореми диференціального числення 238 14.6. Завдання для практичних занять і самостійної роботи студентів 245 Лекція 15. Дослідження функції за допомогою похідних 246 15.1. Монотонність функції 246 15.2. Лінійність, опуклість та вгнутість функції 246 15.3. Екстремуми функції 249 15.4. Асимптоти графіка функції 252 15.5. Загальна схема побудови графіка функції 253 15.6. Елементарні перетворення графіків функцій 257 15.7. Завдання для практичних занять і самостійної роботи студентів 259 РОЗДІЛ 5. ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ 265 Лекція 16. Функції декількох змінних 267 16.1. Означення числової функції декількох змінних, економічні приклади 267 16.2. Повний і частинні прирости функції багатьох змінних, її частинні похідні, частинні диференціали та повний диференціал 269 16.3. Частинні похідні та диференціал складеної функції у випадку багатьох змінних 274 16.4. Похідна функції багатьох змінних за напрямом, градієнт 275 16.5. Похідні вищих порядків. Зауваження про нерівність/рівність мішаних похідних 277 16.6. Формула Тейлора для функції багатьох змінних 281 16.7. Завдання для практичних занять і самостійної роботи студентів 282 Лекція 17. Екстремум функції декількох змінних 284 17.1. Необхідні та достатні умови екстремуму функції декількох змінних, умови відсутності екстремуму 284 17.2. Метод найменших квадратів 289 17.3. Поняття про умовний екстремум, метод множників Лагранжа 291 17.4. Завдання для практичних занять і самостійної роботи студентів 293 РОЗДІЛ 6. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ 295 Лекція 18. Невизначений інтеграл 297 18.1. Поняття первісної функції і невизначеного інтеграла 297 18.2. Економічний, геометричний та механічний зміст невизначеного інтеграла 298 18.3. Основні властивості невизначеного інтеграла, таблиця основних інтегралів 300 18.4. Методи інтегрування (підстановки, заміни змінної у невизначеному інтегралі та інтегрування частинами) 303 18.5. Окремі прийоми інтегрування 304 18.6. Завдання для практичних занять і самостійної роботи студентів 309 Лекція 19. Визначений інтеграл (в 2-х частинах) 311 Частина 1. 19.1. Поняття інтегральної суми та визначеного інтеграла, його геометричний зміст 311 19.2. Властивості визначеного інтеграла 313 19.3. Обчислення визначеного інтеграла, формула Ньютона-Лейбниця 317 19.4. Економічні приклади визначеного інтеграла 319 19.5. Методи інтегрування (заміна змінної у визначеному інтегралі, інтегрування частинами) 322 Частина 2. 19.6. Наближене обчислення визначеного інтеграла: формули прямокутників, трапецій, Сімпсона 323 19.7. Геометричні застосування визначеного інтеграла для обчислення площ, об'ємів тіл обертання, довжин дуг кривих 330 19.8. Поняття про невласні інтеграли 335 19.9. Завдання для практичних занять і самостійної роботи студентів 336 РОЗДІЛ 7. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ 339 Лекція 20. Диференціальні рівняння першого порядку 341 20.1. Поняття диференціального рівняння та його розв'язків. Порядок диференціального рівняння. Економічний приклад 341 20.2. Диференціальне рівняння першого порядку, його загальний розв'язок і загальний інтеграл. Задача Коші 344 20.3. Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними та відокремленими змінними 347 20.4. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку 348 20.5. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку 349 20.6. Диференціальні рівняння Бернуллі 356 20.7. Найпростіші моделі економічної динаміки 357 20.8. Завдання для практичних занять і самостійної роботи студентів 359 Лекція 21. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Поняття про різницеві рівняння 362 21.1. Означення лінійного диференціального рівняння; однорідні і неоднорідні рівняння, властивості їх розв’язків 362 21.2. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами; метод Ейлера, метод варіації довільних сталих 364 21.3. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами з правими частинами спеціального виду 369 21.4. Найпростіші різницеві рівняння; застосування різницевих рівнянь в математиці фінансів 371 21.5. Завдання для практичних занять і самостійної роботи студентів 373 РОЗДІЛ 8. РЯДИ 375 Лекція 22. Числові ряди 377 22.1. Означення числового ряду та його частинних сум; поняття про збіжні та розбіжні числові ряди; необхідна умова збіжності 377 22.2. Ряди з додатними членами: критерій збіжності, теореми про порівняння рядів 380 22.3. Достатні ознаки збіжності рядів з додатними членами: Даламбера, Коші, інтегральна ознака Маклорена - Коші 384 22.4. Знакозмінні ряди, абсолютна й умовна збіжність таких рядів 387 22.5. Знакопочережні ряди, теорема Лейбніца; оцінка залишку : зкопочережного ряду 389 22.6. Завдання для практичних занять і самостійної роботи студентів 391 Лекція 23. Степеневі ряди 394 23.1. Поняття функціонального та степеневого рядів, їх області збіжності 394 23.2. Теорема Абеля. Радіус та інтервал збіжності степеневого ряду 396 23.3. Властивості степеневого ряду в межах його інтервалу збіжності 397 23.4. Ряди Тейлора і Маклорена; розкладання елементарних функцій у ряди Тейлора і Маклорена; застосування степеневих рядів до наближених обчислень 399

Навчальний посібник розроблено відповідно до вимог галузевих стандартів вищої освіти України щодо підготовки бакалаврів з "Економіки та підприємства" і "Менеджменту". Посібник містить навчальну програму дисципліни та конспект лекцій, кожна з яких супроводжується завданнями для практичних занять і самостійної роботи студентів. Наведено багато прикладів економічного змісту, які ілюструють відповідні аспекти використання вищої математики в економічних дослідженнях і менеджменті.